Построение графиков функций одна из интереснейших тем в школьной математике. Дробно-линейная функция

1. Дробно-линейная функция и ее график

Функция вида y = P(x) / Q(x), где P(x) и Q(x) – многочлены, называется дробно-рациональной функцией.

С понятием рациональных чисел вы уже наверняка знакомы. Аналогично рациональные функции – это функции, которые можно представить как частное двух многочленов.

Если дробно-рациональная функция представляет собой частное двух линейных функций – многочленов первой степени, т.е. функцию вида

y = (ax + b) / (cx + d), то ее называют дробно-линейной.

Заметим, что в функции y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (иначе функция становится линейной y = ax/d + b/d) и что a/c ≠ b/d (иначе функция константа). Дробно-линейная функция определена при всех действительных числах, кроме x = -d/c. Графики дробно-линейных функций по форме не отличаются от известного вам графика y = 1/x. Кривая, являющаяся графиком функции y = 1/x, называется гиперболой . При неограниченном увеличении x по абсолютной величине функция y = 1/x неограниченно уменьшается по абсолютной величине и обе ветки графика приближаются к оси абсцисс: правая приближается сверху, а левая – снизу. Прямые, к которым приближаются ветки гиперболы, называются ее асимптотами .

Пример 1.

y = (2x + 1) / (x – 3).

Решение.

Выделим целую часть: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).

Теперь легко видеть, что график этой функции получается из графика функции y = 1/x следующими преобразованиями: сдвигом на 3 единичных отрезка вправо, растяжением вдоль оси Oy в 7 раз и сдвигом на 2 единичных отрезка вверх.

Любую дробь y = (ax + b) / (cx + d) можно записать аналогичным образом, выделив «целую часть». Следовательно, графики всех дробно-линейных функций есть гиперболы, различным образом сдвинутые вдоль координатных осей и растянутые по оси Oy.

Для построения графика какой-нибудь произвольной дробно-линейной функции совсем не обязательно дробь, задающую эту функцию, преобразовывать. Поскольку мы знаем, что график есть гипербола, будет достаточно найти прямые, к которым приближаются ее ветки – асимптоты гиперболы x = -d/c и y = a/c.

Пример 2.

Найти асимптоты графика функции y = (3x + 5)/(2x + 2).

Решение.

Функция не определена, при x = -1. Значит, прямая x = -1 служит вертикальной асимптотой. Для нахождения горизонтальной асимптоты, выясним, к чему приближаются значения функции y(x), когда аргумент x возрастает по абсолютной величине.

Для этого разделим числитель и знаменатель дроби на x:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

При x → ∞ дробь будет стремиться к 3/2. Значит, горизонтальная асимптота – это прямая y = 3/2.

Пример 3.

Построить график функции y = (2x + 1)/(x + 1).

Решение.

Выделим у дроби «целую часть»:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Теперь легко видеть, что график этой функции получается из графика функции y = 1/x следующими преобразованиями: сдвигом на 1 единицу влево, симметричным отображением относительно Ox и сдвигом на 2 единичных отрезка вверх по оси Oy.

Область определения D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Область значений E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Точки пересечения с осями: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2; 0). Функция возрастает на каждом из промежутков области определения.

Ответ: рисунок 1.

2. Дробно-рациональная функция

Рассмотрим дробно-рациональную функцию вида y = P(x) / Q(x), где P(x) и Q(x) – многочлены, степени выше первой.

Примеры таких рациональных функций:

y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) или y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Если функция y = P(x) / Q(x) представляет собой частное двух многочленов степени выше первой, то ее график будет, как правило, сложнее, и построить его точно, со всеми деталями бывает иногда трудно. Однако, часто достаточно применить приемы, аналогичные тем, с которыми мы уже познакомились выше.

Пусть дробь – правильная (n < m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 +p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 +p t x + q t).

Очевидно, что график дробно-рациональной функции можно получить как сумму графиков элементарных дробей.

Построение графиков дробно-рациональных функций

Рассмотрим несколько способов построения графиков дробно-рациональной функции.

Пример 4.

Построить график функции y = 1/x 2 .

Решение.

Используем график функции y = x 2 для построения графика y = 1/x 2 и воспользуемся приемом «деления» графиков.

Область определения D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Область значений E(y) = (0; +∞).

Точек пересечения с осями нет. Функция четная. Возрастает при все х из интервала (-∞; 0), убывает при x от 0 до +∞.

Ответ: рисунок 2.

Пример 5.

Построить график функции y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x).

Решение.

Область определения D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3)(x – 1) / (-3(x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/3 + 1/3.

Здесь мы использовали прием разложения на множители, сокращения и приведения к линейной функции.

Ответ: рисунок 3.

Пример 6.

Построить график функции y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1).

Решение.

Область определения D(y) = R. Так как функция четная, то график симметричен относительно оси ординат. Прежде чем строить график, опять преобразуем выражение, выделив целую часть:

y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).

Заметим, что выделение целой части в формуле дробно-рациональной функции является одним из основных при построении графиков.

Если x → ±∞, то y → 1, т.е. прямая y = 1 является горизонтальной асимптотой.

Ответ: рисунок 4.

Пример 7.

Рассмотрим функцию y = x/(x 2 + 1) и попробуем точно найти наибольшее ее значение, т.е. самую высокую точку правой половины графика. Чтобы точно построить этот график, сегодняшних знаний недостаточно. Очевидно, что наша кривая не может «подняться» очень высоко, т.к. знаменатель довольно быстро начинает «обгонять» числитель. Посмотрим, может ли значение функции равняться 1. Для этого нужно решить уравнение x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0. Это уравнение не имеет действительных корней. Значит, наше предположение не верно. Чтобы найти самое большое значение функции, надо узнать, при каком самом большом А уравнение А = x/(x 2 + 1) будет иметь решение. Заменим исходное уравнение квадратным: Аx 2 – x + А = 0. Это уравнение имеет решение, когда 1 – 4А 2 ≥ 0. Отсюда находим наибольшее значение А = 1/2.

Ответ: рисунок 5, max y(x) = ½.

Остались вопросы? Не знаете, как строить графики функций?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Главная > Литература

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №24»

Проблемно – реферативная работа

по алгебре и началам анализа

Графики дробно – рациональной функции

Ученицы 11 класса А Товчегречко Натальи Сергеевны руководитель работы Паршева Валентина Васильевна учитель математики, учитель высшей квалификационной категории

Северодвинск

Содержание 3Введение 4Основная часть. Графики дробно-рациональных функций 6Заключение 17Литература 18

Введение

Построение графиков функций одна из интереснейших тем в школьной математике. Один из крупнейших математиков нашего времени Израиль Моисеевич Гельфанд писал: «Процесс построения графиков является способом превращения формул и описаний в геометрические образы. Это – построение графиков – является средством увидеть формулы и функции и проследить, каким образом эти функции меняются. Например, если написано y=x 2 , то Вы сразу видите параболу; если y=x 2 -4, Вы видите параболу, опущенную на четыре единицы; если же y=4-x 2 , то Вы видите предыдущую параболу, перевернутую вниз. Такое умение видеть сразу и формулу, и ее геометрическую интерпретацию – является важным не только для изучения математики, но и для других предметов. Это умение, которое остается с Вами на всю жизнь, подобно умению ездить на велосипеде, печатать на машинке или водить машину». На уроках математики мы строим в основном простейшие графики – графики элементарных функций. Только в 11 классе с помощью производной научились строить более сложные функции. При чтении книг:

Цель работы: изучить соответствующие теоретические материалы, выявить алгоритм построения графиков дробно-линейной и дробно-рациональной функций. Задачи: 1. сформировать понятия дробно-линейной и дробно-рациональной функций на основе теоретического материала по данной теме; 2. найти методы построения графиков дробно-линейной и дробно-рациональной функций.

Основная часть. Графики дробно-рациональных функций

1. Дробно – линейная функция и ее график

С функцией вида y=k/x, где k≠0, ее свойствами и графиком мы уже познакомились. Обратим внимание на одну особенность этой функции. Функция y=k/x на множестве положительных чисел обладает тем свойством, что при неограниченном возрастании значений аргумента (когда x стремится к плюс бесконечности) значения функций, оставаясь положительными, стремятся к нулю. При убывании положительных значений аргумента (когда x стремится к нулю) значения функции неограниченно возрастают (y стремится к плюс бесконечности). Аналогичная картина наблюдается и на множестве отрицательных чисел. На графике (рис. 1) это свойство выражается в том, что точки гиперболы по мере их удаления в бесконечность (вправо или влево, вверх или вниз) от начала координат неограниченно приближаются к прямой: к оси x, когда │x│ стремится к плюс бесконечности, или к оси y, когда │x│ стремится к нулю. Такую прямую называют асимптотами кривой.

Рис. 1

Гипербола y=k/x имеет две асимптоты: ось x и ось y. Понятие асимптоты играет важную роль при построении графиков многих функций. Используя известные нам преобразования графиков функций, мы можем гиперболу y=k/x перемещать в координатной плоскости вправо или влево, вверх или вниз. В результате будем получать новые графики функций. Пример 1. Пусть y=6/x. Выполним сдвиг этой гиперболы вправо на 1,5 единицы, а затем полученный график сдвинем на 3,5 единицы вверх. При этом преобразовании сдвинутся и асимптоты гиперболы y=6/x: ось x перейдет в прямую y=3,5, ось y – в прямую y=1,5 (рис. 2). Функцию, график которой мы построили, можно задать формулой

Представим выражение в правой части этой формулы в виде дроби:

Значит, на рисунке 2 изображен график функции, заданной формулой

У этой дроби числитель и знаменатель - линейные двучлены относительно х. Такие функции называют дробно-линейными функциями.

Вообще функцию, заданную формулой вида
, где
х – переменная, а, b , c , d – заданные числа, причем с≠0 и
bc - ad ≠0, называют дробно-линейной функцией. Заметим, что требование в определении о том, что с≠0 и
bc-ad≠0, существенно. При с=0 и d≠0 или при bc-ad=0 мы получаем линейную функцию. Действительно, если с=0 и d≠0, то

Если же bc-ad=0, с≠0, выразив из этого равенства b через a, c и d и подставив его в формулу, получим:

Итак, в первом случае мы получили линейную функцию общего вида
, во втором случае – константу
. Покажем теперь, как строить график дробно-линейной функции, если она задана формулой вида
Пример 2. Построим график функции
, т.е. представим ее в виде
: выделим целую часть дроби, разделив числитель на знаменатель, мы получим:

Итак,
. Мы видим, что график этой функции может быть получен из графика функции у=5/х с помощью двух последовательных сдвигов: сдвига гиперболы у=5/х вправо на 3 единицы, а затем сдвига полученной гиперболы
вверх на 2 единицы.При этих сдвигах асимптоты гиперболы у=5/х также переместятся: ось х на 2 единицы вверх, а ось у на 3 единицы вправо. Для построения графика проведем в координатной плоскости пунктиром асимптоты: прямую у=2 и прямую х=3. Так как гипербола состоит из двух ветвей, то для построения каждой из них составим две таблицы: одну для х<3, а другую для x>3 (т. е. первую слева от точки пересечения асимптот, а вторую справа от нее):

Отметив в координатной плоскости точки, координаты которых указаны в первой таблице, и соединив их плавной линией, получим одну ветвь гиперболы. Аналогично (используя вторую таблицу) получим вторую ветвь гиперболы. График функции изображен на рисунке 3.

Любую дробь
можно записать аналогичным образом, выделив ее целую часть. Следовательно, графики всех дробно-линейных функций являются гиперболами, различным образом сдвинутыми параллельно координатным осям и растянутыми по оси Оу.

Пример 3.

Построим график функции
.Поскольку мы знаем, что график есть гипербола, достаточно найти прямые, к которым приближаются ее ветви (асимптоты), и еще несколько точек. Найдем сначала вертикальную асимптоту. Функция не определена там, где 2х+2=0, т.е. при х=-1. Стало быть, вертикальной асимптотой служит прямая х=-1. Чтобы найти горизонтальную асимптоту, надо посмотреть, к чему приближаются значения функций, когда аргумент возрастает (по абсолютной величине), вторые слагаемые в числителе и знаменателе дроби
относительно малы. Поэтому

Стало быть, горизонтальная асимптота – прямая у=3/2. Определим точки пересечения нашей гиперболы с осями координат. При х=0 имеем у=5/2. Функция равна нулю, когда 3х+5=0, т.е. при х=-5/3.Отметив на чертеже точки (-5/3;0) и (0;5/2) и проведя найденные горизонтальную и вертикальную асимптоты, построим график (рис.4).

Вообще, чтобы найти горизонтальную асимптоту, надо разделить числитель на знаменатель, тогда y=3/2+1/(x+1), y=3/2 – горизонтальная асимптота.

2. Дробно-рациональная функция

Рассмотрим дробную рациональную функцию

У которой числитель и знаменатель - многочлены соответственно n-й и m-й степени. Пусть дробь - правильная (n < m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и при том единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:Если:

Где k 1 ... k s – корни многочлена Q (x), имеющие соответственно кратности m 1 ... m s , а трёхчлены соответствуют парам сопряжения комплексных корней Q (x) кратности m 1 ... m t дроби вида

Называют элементарными рациональными дробями соответственно первого, второго, третьего и четвёртого типа. Тут A, B, C, к – действительные числа; m и м - натуральные числа, m, м>1; трёхчлен с действительными коэффициентами x 2 +px+q имеет мнимые корни.Очевидно, что график дробно-рациональной функции можно получить как сумму графиков элементарных дробей. График функции

Получаем из графика функции 1/x m (m~1, 2, …) с помощью параллельного переноса вдоль оси абсцисс на │k│ единиц масштаба вправо. График функции вида

Легко построить, если в знаменателе выделить полный квадрат, а затем осуществить соответствующее образование графика функции 1/x 2 . Построение графика функции

сводится к построению произведения графиков двух функций:

y = Bx + C и

Замечание . Построение графиков функции

где a d-b c  0 ,
,

где n - натуральное число, можно выполнять по общей схеме исследования функции и построения графика в некоторых конкретных примерах с успехом можно построить график, выполняя соответствующие преобразования графика; наилучший способ дают методы высшей математики. Пример 1. Построить график функции

Выделив целую часть, будем иметь

Дробь
изобразим в виде суммы элементарных дробей:

Построим графики функций:

После сложения этих графиков получаем график заданной функции:

Рисунки 6, 7, 8 представляют примеры построения графиков функций
и
. Пример 2. Построение графика функции
:

(1);
(2);
(3); (4)

Пример 3. Построение графика графика функции

(1);
(2);
(3); (4)

Заключение

При выполнении реферативной работы:- уточнила свои понятия дробно-линейной и дробно-рациональной функций:Определение 1. Дробно-линейная функция – это функция вида , где х – переменная, a, b, c, и d – заданные числа, причем с≠0 и bc-ad≠0. Определение 2. Дробно-рациональная функция – это функция вида

Где n

Сформировала алгоритм построения графиков этих функций;

Приобрела опыт построения графиков таких функций, как:

;

Научилась работать с дополнительной литературой и материалами, производить отбор научных сведений;- приобрела опыт выполнения графических работ на компьютере;- научилась составлять проблемно – реферативную работу.

Аннотация. Накануне 21-го века на нас обрушился нескончаемый поток разговоров и рассуждений на тему информационной магистрали (information highway) и наступающей эры технологии.

Накануне 21-го века на нас обрушился нескончаемый поток разговоров и рассуждений на тему информационной магистрали (information highway) и наступающей эры технологии.

Курсы по выбору одна из форм организации учебно-познавательной и учебно-исследовательской деятельности гимназистов

Документ

Настоящий сборник представляет собой пятый выпуск, подготовленный коллективом Московской городской педагогической гимназии-лаборатории №1505 при поддержке…….

Математика и опыт

Книга

В работе предпринята попытка масштабного сравнения различных подходов к соотношению математики и опыта, сложившихся главным образом в рамках априоризма и эмпиризма.

В данном уроке мы рассмотрим дробно-линейную функцию, решим задачи с использованием дробно-линейной функции, модуля, параметра.

Тема: Повторение

Урок: Дробно-линейная функция

Определение:

Дробно-линейной называется функция вида:

Например:

Докажем, что графиком данной дробно-линейной функции является гипербола.

Вынесем в числителе двойку за скобки, получим:

Имеем х и в числителе, и в знаменателе. Теперь преобразуем так, чтобы в числителе появилось выражение :

Теперь почленно сократим дробь:

Очевидно, что графиком данной функции является гипербола.

Можно предложить второй способ доказательства, а именно разделить в столбик числитель на знаменатель:

Получили:

Важно уметь легко строить график дробно-линейной функции, в частности находить центр симметрии гиперболы. Решим задачу.

Пример 1 - построить эскиз графика функции:

Мы уже преобразовали данную функцию и получили:

Для построения данного графика мы не будем сдвигать оси или саму гиперболу. Мы используем стандартный метод построения графиков функции, использующий наличие интервалов знакопостоянства.

Действуем согласно алгоритму. Сначала исследуем заданную функцию.

Таким образом, имеем три интервала знакопостоянства: на крайнем правом () функция имеет знак плюс, далее знаки чередуются, так как все корни имеют первую степень. Так, на интервале функция отрицательна, на интервале функция положительна.

Строим эскиз графика в окрестностях корней и точек разрыва ОДЗ. Имеем: поскольку в точке знак функции меняется с плюса на минус, то кривая сначала находится над осью, потом проходит через ноль и далее расположена под осью х. Когда знаменатель дроби практически равен нулю, значит, когда значение аргумента стремится тройке, значение дроби стремится к бесконечности. В данном случае, когда аргумент подходит к тройке слева функция отрицательна и стремится к минус бесконечности, справа функция положительна и выходит из плюс бесконечности.

Теперь строим эскиз графика функции в окрестностях бесконечно удаленных точек, т.е. когда аргумент стремится к плюс или минус бесконечности. Постоянными слагаемыми при этом можно пренебречь. Имеем:

Таким образом, имеем горизонтальную асимптоту и вертикальную , центр гиперболы точка (3;2). Проиллюстрируем:

Рис. 1. График гиперболы к примеру 1

Задачи с дробно-линейной функцией могут быть осложнены наличием модуля или параметра. Чтобы построить, например, график функции , необходимо следовать следующему алгоритму:

Рис. 2. Иллюстрация к алгоритму

В полученном графике есть ветви, которые находятся над осью х и под осью х.

1. Наложить заданный модуль. При этом части графика, находящиеся над осью х, остаются без изменений, а те, которые находятся под осью - зеркально отображаются относительно оси х. Получим:

Рис. 3. Иллюстрация к алгоритму

Пример 2 - построить график функции:

Рис. 4. График функции к примеру 2

Рассмотрим следующую задачу - построить график функции . Для этого необходимо следовать следующему алгоритму:

1. Построить график подмодульной функции

Предположим, получен следующий график:

Рис. 5. Иллюстрация к алгоритму

1. Наложить заданный модуль. Чтобы понять, как это сделать, раскроем модуль.

Таким образом, для значений функции при неотрицательных значениях аргумента изменений не произойдет. Касательно второго уравнения мы знаем, что оно получается путем симметричного отображения относительно оси у. имеем график функции:

Рис. 6. Иллюстрация к алгоритму

Пример 3 - построить график функции:

Согласно алгоритму, сначала нужно построить график подмодульной функции, мы его уже построили (см. рисунок 1)

Рис. 7. График функции к примеру 3

Пример 4 - найти число корней уравнения с параметром:

Напомним, что решить уравнение с параметром означает перебрать все значения параметра и для каждого из них указать ответ. Действуем согласно методике. Сначала строим график функции, это мы уже сделали в предыдущем примере (см. рисунок 7). Далее необходимо рассечь график семейством прямых при различных а, найти точки пересечения и выписать ответ.

Глядя на график, выписываем ответ: при и уравнение имеет два решения; при уравнение имеет одно решение; при уравнение не имеет решений.

Дробно-линейная функция изучается в 9 классе после того, как изучены некоторые другие виды функций. Именно об этом говорится в начале урока. Здесь речь идет о функции y=k/x, где k>0. По словам автора, дана функция рассматривалась школьниками ранее. Поэтому с ее свойствами они знакомы. Но одно свойство с указанием особенностей графика этой функции автор предлагает вспомнить и рассмотреть подробно на этом уроке. Это свойство отражает прямую зависимость значения функции от значения переменной. А именно, при положительном x, стремящемся к бесконечности, значение функции также положительно и стремится к 0. При отрицательном x, стремящемся к минус бесконечности, значение y - отрицательно и стремится к 0.

Далее автор отмечает, как это свойство проявляется на графике. Так постепенно обучающиеся знакомятся с понятием асимптоты. После общего ознакомления с этим понятием следует его четкое определение, которое выделено яркой рамкой.

После того, как введено понятие асимптоты и после его определения автор обращает внимание на то, что гиперболы y=k/xпри k>0 имеет две асимптоты: это оси xи y. Точно такая же ситуация и с функцией y=k/xпри k<0: функция имеет две асимптоты.

Когда основные моменты подготовлены, знания актуализированы, автор предлагает перейти к непосредственному изучению нового вида функций: к изучению дробно-линейной функции. Для начала предлагается рассмотреть примеры дробно-линейной функции. На одном таком примере автор демонстрирует, что в качестве числителя и знаменателя выступают линейные выражения или, другими словами, многочлены первой степени. В случае числителя может выступать не только многочлен первой степени, но и любое число, отличное от нуля.

Далее автор переходит к демонстрации общего вида дробно-линейной функции. При этом он подробно расписывает каждый компонент записанной функции. Также поясняется, какие коэффициенты не могут быть равны 0. Эти ограничения автор расписывает и показывает, что может произойти, если эти коэффициенты окажутся нулевыми.

После этого автор повторяет, как получается график функции y=f(x)+nиз графика функции y=f(x). Урок на данную тему можно также найти в нашей базе. Здесь же отмечается то, как построить из этого же графика функции y=f(x) график функции y=f(x+m).

Все это демонстрируется на конкретном примере. Здесь предлагается построить график определенной функции. Все построение идет поэтапно. Для начала предлагается выделить из данной алгебраической дроби целую часть. Выполнив необходимые преобразования, автор получает целое число, которое прибавляется к дроби с числителем, равным числу. Так график функции, которая представляет собой дробь, можно построить из функции y=5/xпосредством двойного параллельного переноса. Здесь же автор отмечает, как переместятся асимптоты. После этого строится система координат, переносятся асимптоты на новое местоположение. Затем строятся две таблица значений для переменной x>0 и для переменной x<0. Согласно полученным в таблицах точкам, на экране ведется построение графика функции.

Далее рассматривается еще один пример, где перед алгебраической дробью в записи функции присутствует минус. Но это ничем не отличается от предыдущего примера. Все действия проводятся аналогичным образом: функция преобразовывается к виду, где выделяется целая часть. Затем переносятся асимптоты, и строится график функции.

На этом объяснение материала заканчивается. Длится этот процесс 7:28 минут. Примерно столько времени требуется учителю на обычном уроке для объяснения нового материала. Но для этого необходимо заранее хорошенько подготовится. Но если взять за основу данный видеоурок, то подготовка к уроку займет минимум времени и сил, а обучающимся понравится новый метод обучения, предлагающий просмотр видеоурока.

“СУБАШСКАЯ ОСНОВНАЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА” БАЛТАСИНСКОГО МУНИЦИПАЛЬНОГО РАЙОНА

РЕСПУБЛИКИ ТАТАРСТАН

Разработка урока - 9 класса

Тема: Дробно – линейная функ ция

квалификационной категории

Гарифуллин а Раил я Рифкатовна

201 4

Тема урока: Дробно – линейная функция.

Цель урока:

Образовательная: Познакомить учащихся с понятиями дробно – линейная функция и уравнение асимптот;

Развивающая: Формирование приемов логического мышления, развитие интереса к предмету; развить нахождение области определеиия, области значения дробно – линейной функции и формирование навыков построения её графика;

- мотивационная цель: воспитание математической культуры учащихся, внимательности, сохранение и развитие интереса к изучению предмета через применение различных форм овладения знаниями.

Оборудование и литература: Ноутбук, проектор, интерактивная доска, координатная полскость и график функции у= , карта рефлексии, мультимедийная презентация, Алгебра: учебник для 9 класса основной общеобразовательной школы/ Ю.Н. Макарычев, Н.Г.Мендюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова; под редакции С.А.Теляковского / М: “Просвещение”, 2004 с дополнениями.

Тип урока:

урок совершенствования знаний, умений, навыков .

Ход урока.

I организационный момент:

Цель: - развитие устных вычислительных навыков;

повторение теоретических материалов и определений необходимых для изучения новой темы.

Добрый день! Начинаем урок с проверки домашнего задания:

Внимание на экран (слайд 1-4):

Задание - 1.

Отвечайте, пожалуйста, по графику данной функции на 3 вопрос (найти наибольшее значение функции, ...)

( 24 )

Задание -2. Вычислите значение выражения:

- =

Задание -3: Найдите утроенную сумму корней квадратного уравнения:

Х 2 -671∙Х + 670= 0.

Сумма коэффициентов квадратного уравнения равна нулю:

1+(-671)+670 = 0. Значит, х 1 =1 и х 2 = Следовательно,

3∙(х 1 +х 2 )=3∙671=2013

А теперь запишем последовательно ответы на все 3 задания через точки. (24.12.2013.)

Результат: Да, все верно! И так, тема сегоднешнего урока:

Дробно – линейная функция.

Прежде чем выезжать на дорогу, водитель должен знать правила дорожного движения: запрещающие и разрешающие знаки. Нам с вами сегодня тоже нужно вспомнить некоторые запрещающие и разрешающие знаки. Внимание на экран! (Слайд-6 )

Вывод:

Выражение не имеет смысла;

Верное выражение, ответ: -2;

верное выражение, ответ: -0;

нельзя разделить на ноль 0!

Обратите внимание, все ли верно записано? (слайд – 7)

1) ; 2) = ; 3) = a .

(1) верное равенство, 2) = - ; 3) = - a )

II. Изучение новой темы: (cлайд – 8).

Цель: Научить навыкам нахождения области определеиия и области значения дробно – линейной функции, построение её графика с использованием параллельного переноса графика функции по оси абсцисс и ординат.

Определите, график какой функции задан на координатной плоскости?

Задан график функции на координатной плоскости.

Вопрос

Ожидаемый ответ

Найти область определения функции, (D ( y )=?)

Х ≠0, или (-∞;0]UUU

Перемещаем график функции с использованием параллельного переноса по оси Ох (абцисс) на 1 единицу направо;

График какой функции построили?

Перемещаем график функции с использованием параллельного переноса по оси Оу (ординат) на 2 единицы вверх;

А теперь, график какой функции построили?

Проводим прямые х=1 и у=2

Как вы думаете? Какие прямые мы с вами получили?

Это те прямые , к которой приближаются точки кривой графика функции по мере их удаления в бесконечность .

И они называются – асимптотами.

То есть одна асимптота гиперболы проходит параллельно оси y на расстоянии 2 единиц справа от нее, а вторая асимптота проходит параллельно оси x на расстоянии 1 единицы выше ее.

Молодцы! А теперь сделаем вывод:

Графиком дробно-линейной функции является гипербола, которую можно получить из гиперболы y = с помощью параллельных переносов вдоль координатных осей. Для этого формулу дробно-линейной функции надо представить в следующем виде: у=

где n – количество единиц, на которое гипербола смещается вправо или влево, m – количество единиц, на которое гипербола смещается вверх или вниз. При этом асимптоты гиперболы сдвигаются в прямые x = m, y = n.

Приведём примеры дробно – линейной функции:

; .

Дробно-линейная функция – это функция вида y = , где x – переменная, a, b, c, d – некоторые числа, причем c ≠ 0, ad – bc ≠ 0.

с≠0 и ad - bc ≠0, так как при с=0 функция превращается в линейную функцию.

Если ad - bc =0, получается сократимая дробь значение, которое приравняется (т.е. константа).

Свойства дробно-линейной функции:

1. При возрастании положительных значений аргумента значения функции убывают и стремятся к нулю, но остаются положительными.

2. При возрастании положительных значений функции значения аргумента убывают и стремятся к нулю, но остаются положительными.

III – закрепление пройденного материала.

Цель: - развивать навыки и умения представления формул дробно-линейной функции к виду:

Закрепить умений составления уравнений асимптота и построения графика дробно – линейной функции.

Пример -1:

Решение: Используя преобразования данную функцию представляем в виде .

= (слайд-10)

Физкультминутка:

(разминку ведет - дежурный)

Цель: - снятие умственной нагрузки и укрепление состояние здоровья учащихся.

Работа с учебником: №184.

Решение: Используя преобразования данную функцию представляем в виде у=k/(х-m)+n .

= де х≠0.

Запишем уравнение асимптота: х=2 и у=3.

Значит, график функции перемещается по оси Ох на расстоянии 2 единиц справа от нее и по оси Оу на расстоянии 3 единицы выше ее.

Групповая работа:

Цель: - формирование умений выслушать других и в то же время конкретно высказать свое мнение;

воспитание личности, способной лидерству;

воспитание у учащихся культуры математичекой речи.

Вариант № 1

Дана функция:

Вариант № 2

Дана функция

1. Приведите дробно-линейную функцию к стандартному виду и запишите уравнение асимптот.

2. Найдите область определения функции

3. Найдите множество значений функции

1. Приведите дробно-линейную функцию к стандартному виду и запишите уравнение асимптот.

2. Найдите область определения функции.

3. Найдите множество значений функции.

(Та группа, которая закончила работу первым, готовится для защиты групповой работы у доски. Проводится анализ работ.)

IV. Подведение итогов урока.

Цель: - анализ теоретической и практической деятельности на уроке;

Формирование навыков самооценки у учащихся;

Рефлексия, самооценка активности и сознательности учащихся.

И так, дорогие мои ученики! Урок подходит к концу. Вам предстоит заполнить карту рефлекции. Аккуратно и разборчиво пишите свои мнения

Фамилия и имя ________________________________________

Этапы урока

Определение уровня слож-ности этапов урока

Ваше нас-троение

Оценка вашей деятельности на уроке, 1-5 балл

легкий

ср.тяж.

трудный

Организационный этап

Изучение нового материала

Формирование навы-ков умения построе-ния графика дробно – линейной функции

Работа в группах

Общее мнение об уроке

Домашнее задание:

Цель: - поверка уровня освоения данной темы.

[п.10* , №180(а), 181(б).]

Подготовка к ГИА: (Работа на “ Виртуальном факультативе” )

Задание из серии ГИА (№23 -максимальный балл):

Постройте график функции У= и определите, при каких значениях с прямая у=с имеет с графиком ровно одну общую точку.

Вопросы и задания опубликуется с 14.00 до 14.30 ч.