На комплексном чертеже построить три проекции точек. Построение ортогональных проекций точек

Для построения изображений ряда деталей необходимо уметь находить проекции отдельных точек. Например, трудно вычертить вид сверху детали, приведенной на рис. 139, не строя горизонтальных проекций точек А, В, С, D, Е, F и др.

Задача нахождения проекций точек по одной, заданной на поверхности предмета, решается следующим образом. Сначала находят проекции поверхности, на которой расположена точка. Затем, проведя линию связи к проекции, где поверхность изображается линией, находят вторую проекцию точки. Третья проекция лежит на пересечении линий связи.

Рассмотрим пример.

Даны три проекции детали (рис. 140, а). Задана горизонтальная проекция а точки А, лежащей на видимой поверхности. Нужно найти остальные проекции этой точки.

Прежде всего надо провести вспомогательную прямую. Если даны два вида, то место вспомогательной прямой на чертеже выбирают произвольно, правее вида сверху, так чтобы вид слева оказался на нужном расстоянии от главного вида (рис. 141).

Если три вида уже построены (рис. 142, а), то место вспомогательной прямой произвольно выбирать нельзя; нужно найти точку, через которую она пройдет. Для этого достаточно продолжить до взаимного пересечения горизонтальную и профильную проекции оси симметрии и через полученную точку k (рис. 142, б) провести под углом 45° отрезок прямой, который и будет вспомогательной прямой.

Если осей симметрии нет, то продолжают до пересечения в точке k 1 горизонтальную и профильную проекции любой грани, проецирующейся в виде отрезков прямой (рис. 142, б).

Проведя вспомогательную прямую, приступают к построению проекций точки (см. рис. 140, б).

Фронтальная а" и профильная а" проекции точки А должны располагаться на соответствующих проекциях поверхности, которой принадлежит точка А. Находят эти проекции. На рис. 140, б они выделены цветом. Проводят линии связи, как указано стрелками. В местах пересечения линий связи с проекциями поверхности находятся искомые проекции а" и а".

Построение проекций точек В, С, D показано на рис. 140, в линиями связи со стрелками. Заданные проекции точек цветные. Линии связи проводят к той проекции, на которой поверхность изображается в виде линии, а не в виде фигуры. Поэтому сначала находят фронтальную проекцию с" точки С. Профильная проекция с точки С определяется пересечением линий связи.

Если поверхность ни на одной проекции не изображается линией, то для построения проекций точек надо применять вспомогательную плоскость. Например, дана фронтальная проекция d точки А, лежащей на поверхности конуса (рис. 143, а). Через точку параллельно основанию проводят вспомогательную плоскость, которая пересечет конус по окружности; ее фронтальная проекция - отрезок прямой, а горизонтальная - окружность диаметром, равным длине этого отрезка (рис. 143, б). Проведя к этой окружности из точки а" линию связи, получают горизонтальную проекцию а точки А.

Профильную проекцию а" точки А находят обычным способом на пересечении линий связи.

Таким же приемом можно найти проекции точки, лежащей, например, на поверхности пирамиды или шара. При пересечении пирамиды плоскостью, параллельной основанию и проходящей через заданную точку, образуется фигура, подобная основанию. На проекциях этой фигуры лежат проекции заданной точки.

Ответьте на вопросы

1. Под каким углом проводят вспомогательную прямую?

2. Где проводят вспомогательную прямую, если заданы виды спереди и сверху, а надо построить вид слева?

3. Как определить место вспомогательной прямой при наличии трех видов?

4. В чем заключается способ построения проекций точки по одной заданной, если одна из поверхностей предмета изображается линией?

5. Для каких геометрических тел и в каких случаях проекции точки, заданной на их поверхности, находят, пользуясь вспомогательной плоскостью?

Задания к § 20

Упражнение 68

Запишите в рабочей тетради, каким проекциям точек, обозначенных на видах цифрами, соответствуют точки, обозначенные на наглядном изображении буквами в примере, указанном Вам преподавателем (рис. 144, а-г).

Упражнение 69

На рис. 145, а-б буквами обозначено лишь по одной проекции некоторых из вершин. Найдите в примере, указанном Вам преподавателем, остальные проекции этих вершин и обозначьте их буквами. Постройте в одном из примеров недостающие проекции точек, заданных на ребрах предмета (рис. 145, г и д). Выделите цветом проекции ребер, на" которых находятся точки. Задание выполните на прозрачной бумаге, наложив ее на страницу учебника. Перечерчивать рис. 145 не надо.

Упражнение 70

Найдите недостающие проекции точек, заданных одной проекцией на видимых поверхностях предмета (рис. 146). Обозначьте их буквами. Заданные проекции точек выделите цветом. Решить задание Вам поможет наглядное изображение. Задание можно выполнить как в рабочей тетради, так и на прозрачной бумаге, наложив ее на страницу учебника. В последнем случае перечерчивать рис. 146 не надо.

Упражнение 71

В примере, указанном Вам преподавателем, перечертите три вида (рис. 147). Постройте недостающие проекции точек, заданных на видимых поверхностях предмета. Заданные проекции точек выделите цветом. Обозначьте буквами все проекции точек. Для построения проекций точек воспользуйтесь вспомогательной прямой. Выполните технический рисунок и нанесите на нем заданные точки.

Точка – одно из основных понятий геометрии. В современной математике точками называют элементы различной природы, из которых состоят пространства, например, в евклидовом пространстве точкой называют упорядоченную совокупность из n чисел.

В начертательной геометрии положение точки в пространстве можно опре­делить её координатами. Замечательным признаком является то, что координата, характеризующая удаление точки от плоскости проекций, одноимённа с осью, которая не присутствует при образовании этой плоскости про­екций. Так, удаление точки от П 2 измеряется координатой y, а сама фронтальная плоскость проекций П 2 образуется пересечением осей OХ и OZ.

Таким образом, каждая из трёх проекций точки характеризуется двумя координатами, их название соответствует названиям осей, которые образуют соответствующую плоскость проекций: горизонтальная – A 1 (X A ; Y A); фронтальная – A 2 (X A ; Z A); профильная – A 3 (Y A ; Z A).

Трансляция координат между проекциями осуществляется с помощью линий связи. Так, в системе плоскостей проекций П 1 П 2 общая для фронтальной и горизонтальной проекций координата x транслируется вертикальной линией связи А 2 А 1 , перпендикулярной оси OХ.

По двум данным проекциям можно построить проекции точки либо с помощью координат, либо графически. Графически профильную проекцию строят, транслируя параметр Z горизонтальной линией связи, проведённой из фронтальной проекции, а параметр Y переносят с горизонтальной проекции, используя постоянную прямую чертежа k – биссектрису угла расщеплённой оси: Y 1 ОY 3 , на которой горизонтальная линия связи, проведённая из горизонтальной проекции перпендикулярно OY 1 , преломляется под прямым углом. При этом у начала координат формируется квадрат со стороной, равной координате Y оригинала, что обеспечивает передачу координаты Y между горизонтальной и профильной проекциями. В табл. 3.1 и 3.2 представлены общие алгоритмы построения точки А по координатам в пространственной модели системы трёх плоскостей проекций П 1 П 2 П 3 и на комплексном чертеже.

Таблица 3.1

Алгоритм построения наглядного изображения точки по координатам
Словесная форма	Графическая форма
1. Отложить на осях X, Y, Ζ соответствующие координаты точки А. Получим точки A x , A y , A z
2. Горизонтальная проекция А 1 находится на пересечении линий связи из точек A x и A y , проведенных параллельно осям X и Y
3. Фронтальная проекция А 2 находится на пересечении линий связи из точек A x и A z , проведенных параллельно осям X и Ζ
4. Профильная проекция А 3 находится на пересечении линий связи из точек A y и A z , проведенных параллельно осям Y и Ζ
5. Точка А находится на пересечении линий связи, проведенных из точек А 1 , А 2 и А 3

Наибольшее применение на практике получил чертёж, составленный из двух или более связанных между собой ортогональных проекций изображаемой фигуры. Такой чертёж называется комплексным чертежом в ортогональных проекциях или комплексным чертежом.

Принцип образования чертежа состоит в том, что данная фигура проецируется ортогонально на 2 взаимно ^-е плоскости проекций, которые затем соответствующим образом совмещают с плоскостью чертежа.

Одна из плоскостей проекций располагается горизонтально, обозначается П 1 и называется горизонтальной плоскостью проекций .

2-я плоскость располагается вертикально перед наблюдателем, обозначается П 2 – фронтальная плоскость проекций . Прямая пересечения плоскостей – ось проекций .

А 1 – горизонтальная проекция А 2 – фронтальная проекция

h А – высота точки А

f А – глубина т.А

Спроецируем ортогонально на плоскости проекций П 1 и П 2 какую-нибудь

точку А, тогда получим две её проекции: горизонтальную проекцию А 1 на плос­кости П 1 и фронтальную проекцию А 2 на плоскости П 2 . Проецирующие прямые AA 1 и АА 2 , при помощи которых точка А проецируется на плоскости проекций, определяют проецирующую плоскость A 1 AA 2 , перпендикулярную к обеим плоскостям проекций и к оси проекций X. Прямые A х A 1 и А х А 2 , являющиеся проекциями проецирующей плоскости на плоскостях проекций П 1 и П 2 , будут перпендикулярны к оси проекций X.

Обратно, каждая пара точек А 1 и А 2 , соответственно принадлежащих плос­костям П 1 и П 2 и расположенных на перпендикулярах к оси X, восставленных из одной и той же точки А х, определяют в пространстве единственную точку А. В са­мом деле, если провести через точку A 1 и А 2 перпендикуляры А 1 А и А 2 А соответ­ственно к плоскостям П 1 и П 2 , то они, находясь в одной плоскости А 1 А х А 2 , пере­секутся в некоторой точке А. Расстояние A 1 А точки А от горизонтальной плоскос­ти проекций называется высотой h точки А, ее расстояние А 2 А от фронтальной плоскости проекций – глубиной f точки А.

Чтобы получить плоский чертеж, совместим плоскость проекций П 1 с плос­костью П 2 , вращая переднюю полуплоскость П 1 вокруг оси Х вниз. В результате получим комплексный чертеж точки А (рис. 4), состоящий из двух проекций А 1 и А 2 точки А, лежащих на одной прямой, перпендикулярной к оси X. Прямая А 1 А 2 , соединяющая две проекции точки, называется вертикальной линией связи.

Полученный комплексный чертеж будет обратимым, т.е. по нему можно вос­становить оригинал. В самом деле, рассматривая, например, фронтальную проек­цию А 2 точки А и имея на чертеже ее глубину f=А х А 1 , можно построить точку А. Для этого надо восстановить перпендикуляр к плоскости чертежа в его точке А 2 и от плоскости чертежа отложить глубину искомой точки, тогда конец перпендику­ляра определит положение точки А.

На практике часто бывает безразличным положение изображаемой фигуры относительно неподвижной системы плоскостей проекций, поэтому при образова­нии комплексного чертежа можно отказаться от фиксации плоскостей проекций и оси проекций не изображать. Основанием этому может служить отмеченное шестое свойство параллельной проекции не изменять проекции фигуры при параллельном переносе плоскости проекций.

Плоскости проекций П 1 и П 2 разбивают все пространство на четыре части, называемые квадрантами или четвертями . При этом условимся нумеровать квад­ранты в порядке, указанном на рис., и называть их I, II, III и IV квадрантами.

Если точка А лежит в I квадранте, то ее горизонтальная проекция A 1 будет принадлежать передней полуплоскости П 1 , а фронтальная проекция А 2 - верхней полуплоскости П 2 . При совмещении плоскостей проекций горизонтальная проек­ция A 1 точки А окажется расположенной ниже оси Х 12 , а фронтальная проекция А 2 - выше оси Х 12 (рис. 5). В зависимости от положения точек в различных квад­рантах пространства будем иметь соответствующее расположение их проекций на комплексном чертеже (рис. 5), так же как и обратно: по расположению проекций можно судить о том, в каком квадранте лежит точка.

Итак, комплексный чертеж, состоящий из двух ортогональных проекций (называемый еще двухкартинным чертежом), является обратимым чертежом. Однако реконструкция оригинала часто становится проще, когда помимо двух основных проекций имеется еще одна проекция на третью плоскость. В качестве такой плос­кости проекций применяется плоскость, перпендикулярная к обеим основным плоскостям П 1 и П 2 , которая называется профильной плоскостью проекций. Ее обозначают П 3 . Три плоскости проекций П 1 , П 2 и П 3 образуют систему трех взаимно перпендикулярных плоскостей (рис. 6). Ребра полученного трехгранника будем обозначать через X, У, Z.

Рассмотрим построение трехкартинного комплексного чертежа. Пусть А - некоторая точка пространства. Опустим из точки А перпендикуляры на плоскости проекций П 1 , П 2 и П 3: АА i ^П i (i = 1, 2, 3). Основания этих перпендикуляров (точ­ки А 1 , А 2 , А 3) и являются соответственно горизонтальной, фронтальной и про­фильной проекциями точки А в системе плоскостей проекций П 1 , П 2 и П 3 . Заметим при этом, что проецирующие плоскости AA 1 A 2 , AA 1 A 3 и АА 2 А 3 перпендикулярны соответственно осям X, У, Z. Обозначив точки пересечения этих плоскостей с осями через А 12 , А 13 , А 23 , заметим, что как прямые A 1 A 12 и А 12 А 2 перпендикулярны к оси X, так и две другие пары прямых A 1 A 13 , А 13 А 3 и А 2 А 23 , А 23 А 3 должны быть перпендикулярны соответственно осям Y и Z. Расстояние точки А от горизонтальной плоскости проекций П 1 мы назвали ранее высотой точки А, а расстояние точки А от фронтальной плоскости проекций П 2 - ее глубиной; расстояние точки А от профильной плоскости проекций П 3 будем называть широтой точки А.

При построении плоского чертежа плоскость П 2 считается неподвижной, а остальные плоскости П 1 и П 3 совмещаются с ней путем вращения соответственно вокруг осей Х и Z в направлении, указанном на рис. стрелками. После совме­щения плоскости П 1 с фронтальной плоскостью П 2 отрезки А 1 А 12 ^Х 12 и A 12 A 2 ^X 12 окажутся расположенными на одной прямой. Аналогично после со­вмещения плоскости П 3 с плоскостью П 2 отрезки A 2 A 23 ^Z 23 и А 23 А 3 ^Z 23 распо­ложатся на линии связи А 2 А 3 ^Z 23 .

В результате указанного совмещения плоскостей проекций получаем комп­лексный чертеж точки А, состоящий из трех ортогональных проекций (трехкартинный ). При этом линии связи должны быть перпендикулярны к осям: А 1 А 2 ^Х 12 , А 2 А 3 ^Z 23 , а отрезки А 1 А 12 и А 23 А 3 равны, ибо А 1 А 12 = А 23 А 3 =А 2 А есть глубина точки А.

Рассмотрим, какой линией связи можно соединять горизонтальную и про­фильную проекции точки А. Для этого обратим внимание на квадрат А 13 ОА 3 А*. Диагональ этого квадрата является биссектрисой угла Х 12 ОZ 23 . Следо­вательно, линия связи, соединяющая проекции А 1 и А 3 , представляет собой лома­ную линию с вершиной на биссектрисе угла Х 12 ОZ 23, состоящую из двух звеньев (горизонтального и вертикального). В дальнейшем эту линию будем называть горизонтально-вертикальной линией связи. Часть этой ломаной заменяют иногда дугой окружности.

Введенная система трех плоскостей проекций П 1 , П 2 и П 3 разбивает все про­странство на восемь частей, называемых октантами. Их нумеруют следующим об­разом: слева от профильной плоскости октанты сохраняют нумерацию квадрантов, а справа от плоскости П 3 идут номера 5, 6, 7 и 8. При совмещении плоскостей про­екций передняя часть горизонтальной плоскости опускается вниз, а задняя подни­мается вверх; передняя часть профильной плоскости удаляется от нас направо, а задняя приближается слева.

Множество горизонтальных проекций всех точек пространства назовем по­лем горизонтальных проекций П 1 (соответствующая проекция фигуры называется видом сверху ), а множество фронтальных проекций всех точек пространства - по­лем фронтальных проекций П 2 (соответствующая проекция фигуры называется ви­дом спереди или главным видом ). Аналогично множество профильных проекций всех точек пространства назовем полем профильных проекций П 3 (соответствующая проекция фигуры называется видом слева ).

Чтобы иметь возможность точного построения комплексных чертежей каких-либо фигур, необходимо уметь задавать положения проекций точек, определяющих данные фигуры, при помощи чисел. Для этого, как известно, следует пользоваться координатным методом. Рассмотрим трехгранник, образованный системой плоскостей проекций П 1 , П 2 и П 3 . На осях X, У, Z установим единицу измерения е. За начало отсчета примем точку О пересечения трех плоскостей проекций (вершину трехгранника). Положительное направление на каждой оси установим, как показано на рис. Тогда трехгранник OXYZ можем рассматривать как прямоугольную декартову систему координат с коорди­натными осями: Ох - ось абсцисс, Оу - ось ординат, Oz - ось аппликат.

Ломаная ОА 12 А 1 А, определяющая положение точки А относительно коор­динатной системы OXYZ, называется, как, уже было сказано ранее, координатной ломаной линией. Звенья этой ломаной называются отрезками координат: ОА - отрезок абсциссы, А 12 А 1 - отрезок ординаты, А 1 А - отрезок аппликаты точки А. Длины отрезков координат точки А, измеренные установленной единицей длины е , называются координатами точки А:

Координаты точки А можно рассматривать, как ее расстояния до плос­костей проекций, поэтому координаты будут иметь следующие значения: Z А - высота, Y A - глубина, Х A - широта точки А. Координаты точки называются определителем точки.

По заданным координатам точку А(Х А,Y A ,Z A) можно построить сле­дующим образом. Сначала с помощью единицы длины е строится отрезок OA 12 , затем отрезок A 12 A 1 , параллельный оси Y, и, наконец, отрезок А 1 А, параллельный оси Z. В результате получаем точку А.

5. Комплексный чертёж прямой линии

Пусть в I четверти расположен отрезок прямой l не параллельный и не перпендикулярный ни к одной из плоскостей проекций. Для построения его ортогональных проекций возьмём на прямой 2 точки и спроецируем их на П 1 и П 2 . Полученные проекции точек и определяют искомые проекции отрезка прямой.

Прямая, не параллельная и не перпендикулярная ни к одной из плоскостей проекций, называется прямой общего положения .

К прямым частного положения относятся параллельные или ^-ые какой-либо плоскости проекций.

Прямая, //-ая какой-либо плоскости проекций, называется прямой уровня .

//-ая П 1 – горизонталь,

//-ая П 2 – фронталь,

//-ая П 3 – профильная прямая уровня.

Прямая уровня на плоскость проекций, которой она параллельна, проецируется без искажений в натуральную величину. При этом её проекция на этой плоскости с осями координат образует углы, равные углам наклона этой прямой к соответствующим плоскостям проекций.

Для задания профильной прямой уровня необходимо задавать на ней проекции двух точек.

Прямая, ^-я какой-либо плоскости проекций, называется проецирующей прямой.

^-я к П 1 – горизонтально проецирующая,

^-я к П 2 – фронтально проецирующая,

^-я к П 3 – профильно проецирующая.

2 точки, проекции которых на какую-либо плоскость проекций совпадают, называются конкурирующие точки .

Если совпадают горизонтальные проекции – горизонтально конкурирующие.

Из двух горизонтально конкурирующих точек на П 1 будет видна та, фронтальная проекция которой находится выше от оси х 12 .

Из двух фронтально конкурирующих точек на П 2 будет видна та, горизонтальная проекция которой находится дальше от оси х 12 .

6. Определение натуральной величины отрезка прямой

Натуральная величина отрезка прямой является гипотенузой прямоугольного треугольника одним катетом которого служит проекция отрезка на какую-либо плоскость проекций, а другим катетом разность расстояний концов этого отрезка до этой плоскости проекций.

Словесная форма	Графическая форма
1. Отложить на осях X, Y, Ζ соответствующие координаты точки А. Получаем точки A x , A y , A z
2. Горизонтальная проекция А 1 находится на пересечении линий связи из точек A x и A y , проведенных параллельно осям X и Y
3. Фронтальная проекция А 2 находится на пересечении линий связи из точек A x и A z , проведенных параллельно осям X и Ζ
4. Профильная проекция А 3 находится на пересечении линий связи из точек A z и A y , проведенных параллельно осям Ζ и Y

3.2. Положение точки относительно плоскостей проекций

Положение точки в пространстве относительно плоскостей проекций определяется её координатами. Координатой Х определяется удалённость точки от плоскости П 3 (проекция на П 2 или П 1), координатой У – удалённость от плоскости П 2 (проекция на П 3 или П 1), координатой Z – удаленность от плоскости П 1 (проекция на П 3 или П 2). В зависимости от значения этих координат точка может занимать в пространстве как общее, так и частное положение по отношению к плоскостям проекций (рис. 3.1).

Рис. 3.1. Классификация точек

Т очка общего положения . Координаты точки общего положения не равны нулю (x ≠0, y ≠0, z ≠0 ), и в зависимости от знака координаты точка может располагаться в одном из восьми октантов (табл. 2.1).

На рис. 3.2 даны чертежи точек общего положения. Анализ их изображений позволяет сделать вывод, что они располагаются в следующих октантах пространства: А(+X;+Y; +Z( Iоктанту;B(+X;+Y;-Z( IVоктанту;C(-X;+Y; +Z( Vоктанту;D(+X;+Y; +Z( IIоктанту.

Точки частного положения . Одна из координат у точки частного положения равна нулю, поэтому проекция точки лежит на соответствующем поле проекций, другие две – на осях проекций. На рис. 3.3 такими точками являются точки А, В,C,D,G.A П 3 ,то точка Х А =0; В П 3 ,то точка Х В =0; С П 2 ,то точкаY C =0;D П 1 ,то точкаZ D =0.

Точка может принадлежать сразу двум плоскостям проекций, если она лежит на линии пересечения этих плоскостей – оси проекций. У таких точек не равна нулю только координата на этой оси. На рис. 3.3 такой точкой является точкаG(G OZ,то точка Х G =0,Y G =0).

3.3. Взаимное положение точек в пространстве

Рассмотрим три варианта взаимного расположения точек в зависимости от соотношения координат, определяющих их положение в пространстве.

На рис. 3.4 точки AиBимеют различные координаты.

Их взаимное расположение можно оценить по удаленности к плоскостям проекций: Y А >Y В, тогда точкаAрасположена дальше от плоскости П 2 и ближе к наблюдателю, чем точкаB; Z А >Z В, тогда точкаAрасположена дальше от плоскости П 1 и ближе к наблюдателю, чем точкаB; X А

На рис. 3.5 представлены точки A, B, С, D, у которых одна из координат совпадает, а две другие отличаются.

Их взаимное расположение можно оценить по удалённости к плоскостям проекций следующим образом:

Y А =Y В =Y D , то точки А, В и D равноудалены от плоскости П 2 , и их горизонтальные и профильные проекции расположены соответственно на прямых [А 1 В 1 ]llОХ и [А 3 В 3 ]llOZ. Геометрическим местом таких точек служит плоскость, параллельная П 2 ;

Z А =Z В =Z С, то точки А, В и С равноудалены от плоскости П 1 , и их фронтальные и профильные проекции расположены соответственно на прямых [А 2 В 2 ]llОХ и [А 3 С 3 ]llOY. Геометрическим местом таких точек служит плоскость, параллельная П 1 ;

X А =X C =X D , то точки А, C и D равноудалены от плоскости П 3 и их горизонтальные и фронтальные проекции расположены соответственно на прямых [А 1 C 1 ]llOY и [А 2 D 2 ]llOZ . Геометрическим местом таких точек служит плоскость, параллельная П 3 .

3. Если у точек равны две одноименные координаты, то они называются конкурирующими . Конкурирующие точки расположены на одной проецирующей прямой. На рис. 3.3 даны три пары таких точек, у которых: X А =X D ; Y А =Y D ; Z D > Z А; X A =X C ; Z A =Z C ; Y C > Y A ; Y A =Y B ; Z A =Z B ; X B > X A .

Различают горизонтально конкурирующие точки А и D, расположенные на горизонтально проецирующей прямой АD, фронтально конкурирующие точки A и C, расположенные на фронтально проецирующей прямой AC, профильно конкурирующие точки A и B, расположенные на профильно проецирующей прямой AB.

Выводы по теме

1. Точка – линейный геометрический образ, одно из основных понятий начертательной геометрии. Положение точки в пространстве можно определить её координатами. Каждая из трёх проекций точки характеризуется двумя координатами, их название соответствует названиям осей, которые образуют соответствующую плоскость проекций: горизонтальная – A 1 (XA; YA); фронтальная – A 2 (XA; ZA); профильная – A 3 (YA; ZA). Трансляция координат между проекциями осуществляется с помощью линий связи. По двум проекциям можно построить проекции точки либо с помощью координат, либо графически.

3. Точка по отношению к плоскостям проекций может занимать в пространстве как общее, так и частное положение.

4. Точка общего положения – точка, не принадлежащая ни одной из плоскостей проекций, т. е. лежащая в пространстве между плоскостями проекций. Координаты точки общего положения не равны нулю (x≠0,y≠0,z≠0).

5. Точка частного положения – это точка, принадлежащая одной или двум плоскостям проекций. Одна из координат у точки частного положения равна нулю, поэтому проекция точки лежит на соответствующем поле плоскости проекций, другие две – на осях проекций.

6. Конкурирующие точки – точки, одноименные координаты которых совпадают. Существуют горизонтально конкурирующие точки, фронтально конкурирующие точки, профильно конкурирующие точки.

Ключевые слова

Координаты точки

Точка общего положения

Точка частного положения

Конкурирующие точки

Способы деятельности, необходимые для решения задач

– построение точки по заданным координатам в системе трех плоскостей проекций в пространстве;

– построение точки по заданным координатам в системе трех плоскостей проекций на комплексном чертеже.

Вопросы для самопроверки

1. Как устанавливается связь расположения координат на комплексном чертеже в системе трех плоскостей проекций П 1 П 2 П 3 с координатами проекций точек?

2. Какими координатами определяется удалённость точек до горизонтальной, фронтальной, профильной плоскостей проекций?

3. Какие координаты и проекции точки будут изменяться, если точка перемещается в направ­лении, перпендикулярном профильной плоско­сти проекций П 3 ?

4. Какие координаты и проекции точки будут изменяться, если точка перемещается в направ­лении, параллельном оси OZ?

5. Какими координатами, определяется горизонтальная (фронтальная, профильная) проекция точки?

7. В каком случае проекция точки совпадает с самой точкой пространства и где располагаются две другие проекции этой точки?

8. Может ли точка принадлежать одновременно трём плоскостям проекций и в каком случае?

9. Как называют точки, одноимённые проекции которых совпадают?

10. Каким образом можно определить, какая из двух точек ближе к наблюдателю, если их фронтальные проекции совпадают?

Задания для самостоятельного решения

1. Дать наглядное изображение точекA,B,C,Dотносительно плоскостей проекций П 1 , П 2 . Точки заданы своими проекциями (рис. 3.6).

2. Построить проекции точек А и В по их координатам на наглядном изображении и комплексном чертеже: А(13,5; 20), В(6,5; –20). Построить проекцию точки С, расположенной симметрично точке А относительно фронтальной плоскости проекций П 2 .

3. Построить проекции точек А, В, С по их координатам на наглядном изображении и комплексном чертеже: А(–20; 0; 0), В(–30; -20; 10), С(–10, –15, 0). Построить точку D, расположенную симметрично точке С относительно осиOХ.

Пример решения типовой задачи

Задача 1. Даны координатыX,Y,ZточекA,B,C,D,E,F(табл. 3.3)

В общем случае плоскости проекций разделяют все пространство на 8 частей, которые называют октантами. В практике изображения геометрических объектов на чертежах из соображения удобства и наибольшей наглядности проецируемый объект располагают в I октанте. Поэтому в нашем курсе начертательной геометрии мы ограничимся рассмотрением геометрических объектов, расположенных только в этом октанте.

В том случае, когда точка занимает частное положение в пространстве, ее проекции расположены особенным образом. Частным положением точки считаем такое, при котором она находится либо на оси проекций, либо в плоскости проекций. Так, если точка расположена на оси проекций, тогда две ее проекции лежат на этой оси, а третья в начале координат. Если точка расположена на плоскости проекций, тогда одна из ее проекций лежит в этой же плоскости, а две другие – на осях проекций.

Для точек, занимающих частное положение в пространстве, построения следует начинать с проекций, принадлежащих либо оси, либо плоскости проекций.

Для построения чертежей реальных деталей, имеющих конкретные геометрические размеры и привязанных к определенным координатам, необходимо установить взаимосвязь между проекциями точки и ее координатами.

Построение проекций точки по ее координатам

Пусть заданы координаты какой-либо точки А (x, y, z ). Тогда ее проекции строят следующим образом: сначала откладывают абсциссу по оси ОХ ; затем проводят вертикальную линию; далее на ней откладывают ординату по оси OY и аппликату по оси OZ (вверх, либо вниз от оси ОХ в зависимости от знака координат y, z ). По оси OY получают горизонтальную проекцию А 1 , по оси OZ - фронтальную А 2 . Профильную проекцию А 3 строят по А 1 и А 2 (либо по координатам). Например, построим проекции точки А (10, 20, 30), заданной конкретными координатами. Построения показаны на рис. 1.4.

Необходимо помнить, что положение горизонтальной проекции определяется координатами х и y , фронтальной проекции - координатами х и z , профильной проекции - координатами y и z . Ордината y всегда характеризует положение горизонтальной проекции, а аппликата – фронтальной.

Рис. 1.4. Взаимосвязь координат точки и ее проекций:

а) вид в аксонометрии; б) комплексный чертеж.

Исходя из тех же положений, решается обратная задача – определение координат точки по ее проекциям. Если на комплексном чертеже изображены проекции точки, тогда, измерив соответствующие расстояния, определяем ее координаты (см. рис. 1.4, б). Причем для определения всех трех координат достаточно двух проекций, т.к. любая пара проекций однозначно задается тремя координатами.

Удаленность точки от плоскостей проекций